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无法解出的方程——天才与对称

作　　者： [美]马里奥·利维奥
ISBN(书号)： 9787535751614
从书名： 数学圈丛书
出版日期： 2008-1-1
版　　次： 1-1
开　　本： 32
字　　数： 396 千字
　　

定　价：￥ 32.00

约翰•塞巴斯蒂安•巴赫的音乐、自然界的基本力、魔方、配偶的选择有无共通之处？它们共同的特点是都具有某种对称性。对称性概念为科学和艺术之间、理论物理世界和我们日常生活的世界之间架起了桥梁。然而关于对称的“语言”——数学中的群论——却产生于最意想不到的来源：一种无法解出的方程式。本书讲述的是才华横溢的数学家的故事，也叙述了数学如何为其他学科添光增彩。在这本栩栩如生、曲折动人的书中，马里奥•利维奥以一种容易被人接受的方式展示了群论是如何解释自然界和人造世界的对称性和秩序的。约翰·塞巴斯蒂安·巴赫的音乐、自然界的基本力、魔方、配偶的选择有无共通之处？它们共同的特点是都具有某种对称性。对称性概念为科学和艺术之间、理论物理世界和我们日常生活的世界之间架起了桥梁。然而关于对称的“语言”——数学中的群论——却产生于最意想不到的来源：一种无法解出的方程式。几千年来，在遇到现在所说的五次方程之前，数学家已经逐渐解决了越来越困难的代数方程。但几个世纪过去了，五次方程仍然没有解，最后，两个数学天才彼此独立地发现了它不能用通常的方法解出，群论由此产生。这两个年轻的天才是挪威数学家尼尔斯·亨里克·阿贝尔和法国数学家埃瓦利斯特·伽罗瓦，他们最后都悲剧性地死去。事实上，伽罗瓦（时年20岁）在他致命的决斗前夕，草草地记录了他的证明的另一份简要总结，笔记本的边上有一句话：“我没有时间”。
无法解出的方程的故事是一本关于才华横溢的数学家的故事，也叙述了数学如何为其他学科添光增彩。在这本栩栩如生、曲折动人的书中，马里奥·利维奥以一种容易被人接受的方式展示了，群论是如何解释自然界和人造世界的对称性和秩序的。

对称与五次方程之谜

葛之

从我们上幼儿园或小学起，生平第一次接触到抽象的东西就是数，不仅用它们来做简单的加减乘除，而且也写在简谱上唱歌。专家不断指出，人类历史上走出这一步（发明自然数）极为费时，但小朋友认识数似乎并不觉障碍。到了初中，接受代数式是更为抽象的一步，多数人也没有太大问题。从代数式一直到大学微积分是条自然的路，其抽象程度并未有多少增加。
但是，一到群论及抽象代数就不对了。群仿佛天外来物，横空出世，很多人不知其所以然。这固然是芸芸大众无法跟上寥若晨星的天才思维的反映，更由于抽象代数枯燥的教材与教学大有问题。其实，群论也深深扎根于现实生活，在几何学、晶体学和近代物理中随处可见其身影。如果没有这样一个背景，群论就会失去它的生命力。所幸的是，航天专家、天体物理学家利维奥的《无法解出的方程——天才与对称》，可以弥补我们对群的陌生和畏惧。
为了说明对称性在自然界和生活中的司空见惯，作者在开场篇中不遗余力地列举了大量例子，从精致无比的艺术品到琅琅上口的诗歌，从Y染色体的结构到动物的外形，甚至涉及心理学。这是常见的高级科普写法，起点较低、直观形象，容易吸引读者眼球。不过，像本书这样旁征博引仍属罕见，从“作者简介”上看到一部得奖作品《黄金比例》，就可意识到他是多么关注科学和艺术了。
看完那些内容，我们就能与作者达成共识：对称如此常见，但数学中描述对称的标准理论——群论——却出现得很晚。这与概率论的命运有些相似：随机现象充斥着周围的世界，而概率论的出现却是17世纪的事了。这表明，数学理论从萌芽到成熟是个艰苦漫长的过程，要等待时机。事实上，群的出现比概率还要奇特。概率至少与赌博等随机事件有关，群论是为了对付五次方程的求根公式而产生的，从表面上看，方程与对称似乎不存在多么深刻而必然的联系。
在给出变换与群的简单定义后，作者展开了人类探索方程和对称的千年之旅。方程应该说是数学的中心课题，耐人寻味的是，数学中似乎没有其他方向或领域具有方程研究这样的传奇色彩。一次方程自然没什么好说的；二次方程就不那么简单，尽管初中生就可轻易写出求根公式，尽管美索不达米亚等地区早已有这方面的记录，但由于符号代数成熟较晚，加上人们对负数和虚数长期不予承认，所以完整的求根公式是9世纪阿拉伯数学家花拉子米才写出的。
那么三次方程呢？人们明白这是智力的挑战，但却绝对没想到，接下去的几百年里，围绕着高次方程竟发生了那么多事。第一个出场的是意大利博洛尼亚的费罗，他首先在1515年左右解出了三次方程。当时科学家习惯将自己的成果保密，只传给身边的亲人和弟子，关于费罗其人和工作人们知之甚少，难得的是此书里倒留有些笔墨。若干年后（此时费罗已去世），另一位意大利数学家塔尔塔利亚独立解决了三次方程，他用自己的发现与人进行数学竞赛，大获全胜。事情传到同胞卡尔达诺耳朵里。经不起再三引诱，塔尔塔利亚把解法告诉了卡尔达诺，并要求其保密。但卡尔达诺看到费罗手稿后，就把公式公布天下。塔尔塔利亚义愤填膺，卡尔达诺支持自己的学生费拉里与塔尔塔利亚再次辩论，在不太公正的环境里，塔尔塔利亚败退，不久凄凉去世。后来，卡尔达诺因为给自己算命，最终不得不自尽；而费拉里进一步求出了四次方程的求根公式，似乎笑到了最后。一般书籍不再涉及费拉里这个不太出名的人的身世，本书则提到了他的结局——在战胜塔尔塔利亚若干年后突然去世，有可能死于亲属谋杀。当然，这两个人的离奇死亡与他们的研究没有直接关系。
发现四次方程求根公式后，人们自然会去考虑五次方程的求根公式，但却停滞了整整300年之久。在18世纪末，伟大的法囯-意大利数学家拉格朗日开始关注这个问题，他希望在找到一至四次方程的统一解法后再处理五次方程。前一个目的达到了，但做五次方程时却失败了。不过，拉格朗日首先把根的置换看得至关重要，为群论和对称性研究提供了一个突破口。大约在1799年，意大利数学家鲁菲尼写了本几百页的书，声称他证明了一般五次方程的求根公式根本不存在！但是他的解法不仅有漏洞，而且冗长、迂回，没人愿意去读懂它。鲁菲尼也是个过渡人物，一般著作一笔带过，但这本书还是留给他一些篇幅。
18世纪快结束时法国哲学家狄德罗曾说，数学将在拉格朗日等人那里终结。可幸的是他错了。19世纪伊始，本书的两位主角陆续登场，那就是挪威数学家阿贝尔和法国数学家伽罗瓦。关于这两个人的故事就比较多，各有几部传记问世。两人的经历非常相似：都是为数学做出重大贡献的天才，都是英年早逝，家庭出身都一般但最终受人排挤或迫害，都曾误以为自己解出了五次方程，明显不同的是两人的性格。
由于阿贝尔和伽罗瓦虽身处同时代却互不相识，书中先从年长的阿贝尔开始。阿贝尔在读大学时，成功地证明一般五次方程求根公式不存在。但是，有些特殊的五次方程则可以求解。如何给出判定？阿贝尔来不及考虑。挪威远离当时法国等数学中心，要得到数学界的承认很不容易。几经周折后，阿贝尔因贫穷染疾而终，年仅27岁，令人扼腕叹息。这故事在书中叙述颇为详尽。
伽罗瓦的故事就热闹多了。先说说他的贡献，作为真正的群论之父，伽罗瓦把所有代数方程的可解性给彻底搞清楚了，书中有纯文字的介绍。不过他当时还是中学毕业生，很难得到主流数学界的重视。加之偏科和得罪考官，他在考试中曾经失利，重要论文被三次忽视。由于是激进的共和派，伽罗瓦被捕入狱，出狱后又因为感情问题与人决斗而死，年仅21岁。全书在写到伽罗瓦时一改洋洋洒洒的风格，很像是部情节紧张的小说；而围绕着伽罗瓦神秘的死，直至今天都没有完全搞清楚，作者在此处着意留墨，带给我们很多悬疑。
虽然伽罗瓦的政治作为有点幼稚，但正如书中指出，上帝对他的数学成就还是公正的。在伽罗瓦死后十几年，他的理论得到了数学界的承认，并在李、西罗、克莱因、诺特等数学家的努力下大力发展。然后，作者又集中阐述了群论对于物理学的重大意义。据说群论刚进入物理学时，被许多物理学家看成洪水猛兽，但毕竟势不可挡。群，就像是钻石。所有的人工对称物中，以钻石留给人们印象最深。“钻石恒久远，一颗永流传。”而研究对称的数学分支——群论，则是颗璀璨的思想钻石。与普通钻石不同的是，越到现代它越是光华四射。就在伽罗瓦之后不久，理论物理的每一次重大突破都与群脱离不了干系，如麦克斯韦方程、相对论中的洛伦兹变换、量子力学、粒子物理与规范场，乃至大统一物理学和弦论，都刻下了群论的深深印记。作者指出，这恐怕也是伽罗瓦始料未及的。耐人寻味的是，全书最后又回到了伽罗瓦，披露了一件其他著作中从未提及的事：伽罗瓦非凡的大脑也在其死后被取出研究，与爱因斯坦一样。
全书留给我比较深刻的印象是，作者对史料的引用可谓到位：信件、当事人的叙述、报纸的报道，还有大量图片。也许概率和群出现得晚且比较深奥，关于这方面的科普书也少。利维奥写此书真不容易，难怪会得到当代大数学家阿蒂亚（菲尔兹奖与阿贝尔奖获得者）以及著名科普作家斯图尔特与阿克泽尔的好评。
读完此书，感慨颇深。20年前的那些书有的带着某种政治倾向，把阿贝尔和伽罗瓦的悲剧归咎于资本主义社会的黑暗，其实不太对；问题也不在于他们的性格缺陷，而是太过超前又短命，别人还来不及理解其工作的重大意义。不错，阿贝尔寄给高斯的信根本未裁开，但想想高斯遇到民科的纠缠还会少？我们也可以原谅高斯。书中明确指出，阿贝尔在生前已得到很多著名数学家的关注，他死时并非默默无闻。伽罗瓦则死得更早，怪不得别人暂时的忽视了。
很多人对科学天才的理解也有偏差。科学偶像不如将领和运动员，科学强调的是服从真理的理性精神，过分强调天才的作用是错误的。尤其是数学上，我们不能乱提问题（比如圆周率的展开中会不会连续出现100亿个0；或把1000个大小相同的正12面体无重叠地放入一个球问其最小半径是多少）。凡历史发展到某个时刻，一个全新的重大原理、方法迟早会提出来，解决过去无法想象的难题。这固然需要天才，但天才并非无所不知，只是直觉较强，看得出问题的本质、方法在哪里；什么问题当前可以做动，什么问题是意义重大的。其次，天才也是善于学习的，阿贝尔和伽罗瓦都有个明显特征，就是仔细钻研一流大师的作品，这样才能有所突破，而不是某天灵光乍现的结果——后者往往是“民科”津津乐道的东西。这亦是阅读此书的一大收获。
阿贝尔和伽罗瓦之所以激起我共鸣的另一个原因，是他们所处的英雄时代。这就有点奇怪了，他们是19世纪前半叶的欧洲人，何来共鸣之说？其实，中国由于特殊的历史原因，在1980年代科学家的地位空前提高，陈景润就被塑造成一个科技英雄。中外科学家的生平和贡献大量出现在出版物中，深深地感染了青少年（包括笔者本人）。可惜这是短暂的，因为国际大环境已是后现代和明星的天下了。每每看到周围的同学对明星的狂热崇拜，我总是嗤之以鼻。经过多年反思，我的态度起了一些变化。
古代社会是一个圣人、天子和神（其实主要是神职人员）的世界，塑造出唯我独尊没有缺点的人，让人们顶礼膜拜。到了近代，人们终于开始突破这样一个限制，中国出现了四大古典名著，赞美实实在在的英雄或精英，讽刺虚幻的圣人和神仙。几乎在同时，欧洲的变迁更为天翻地覆：探险家开拓新的广阔疆域，文艺家寻找新的创作模式，科学家发现新的智力成就。于是，并非没有缺陷的英雄和精英，就逐渐取代了圣人天子（尽管有很多曲折的争斗，比如20世纪还冒出很多被神化的政治骗子）。阿贝尔和伽罗瓦无愧于科技群英中的“双子星座”。
这是一段激动人心的历史。不过，随着地球探险早已基本完成，太空遨游也不再新鲜，战争的日益高科技化且越来越少，文学艺术的各种形式也已挖掘得很深，运动员不断被兴奋剂困扰，势必导致英雄和精英淡出历史舞台。科学也不例外。科学上有两类问题，一类预示着重大的原理性突破，例如阿贝尔和伽罗瓦的群论；还有一类属于复杂性，比如前面提到的两个问题，再比如癌症、天气预报等。10多年前，《科学美国人》的高级编辑霍根出版了一本颇有争议的著作《科学的终结》，他的意思是，在科学上，原理性突破可能已一去不复返，剩下的是复杂的细节问题。这触怒了某些科学家，因为霍根的论调会影响他们的经费。但霍根也并非毫无道理，至少在最近的几十年里，科学家确实在面对这一窘境。
于是，现代社会中明星开始取代英雄和精英，粉墨登场了。我觉得这可能是一个进步，镁光灯下明星受到粉丝的热烈吹捧，同时也遭媒体曝光，缺点多多，说明明星比英雄更为贴近真实。当世界从各种精神的感召或忽悠中剥离出来，人们就决定离开虚假；而既然决定离开虚假，就会不屈不挠地一步步逼近真实——哪怕以空虚、自大和浅薄为代价。这一代价也许是暂时的，人类的文明史毕竟短暂，还来不及做足够的反思，来不及考虑如何更好地对待历史上的精神遗产。对刘翔的爱与恨就是个典型例子，因为在很多国人心中，他已不仅仅是名优秀运动员，俨然已成为一位英雄，因此有着更高的标准。还有旅行家余纯顺，他并未对人类作出什么伟大贡献，也不比某些人更勇敢，他最感染人的地方，在于用真实的情感而不是豪言壮语实现自己的愿望——然而他的出现也表明，英雄情结并未彻底消失，只不过人们不知如何用现代语言去表述它。
从学生时代起，我就深受阿贝尔和伽罗瓦故事的感染，不仅为他们的天才，也为他们的理想和勇气；尽管与利维奥的这本书相比，20年前国人的描述实在太粗略、太口号化了。如今已工作多年、越发现实的我捧读此书，感受自然更为不同。不久前我的一个同学说过，对他们是要仰望的；想想自己，尚未生出“华发”，竟也有“一樽还酹江月”之慨：南无（光荣啊！）阿贝尔，南无伽罗瓦，绝代双骄，永志怀念！

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