| 绝大多数有知识的人今天仍然认为数学是关于物质世界的不可动摇的知识体系，数学推理是准确无误的。本书驳斥了这种神化。它强调了数学不合逻辑的发展方式，应用数学反对“纯”数学的问题以及在20世纪数学逻辑结构的连贯性遇到的挑战。 |
序言1
引论1
第一章 数学真理的起源8
第二章 数学真理的繁荣34
第三章 科学的数学化60
第四章 第一场灾难：真理的丧失85
第五章 一门逻辑学科不合逻辑的发展127
第六章 不合逻辑的发展：分析的困境164
第七章 不合逻辑的发展：19世纪的困境199
第八章 不合逻辑的发展：天堂之门223
第九章 天堂受阻：理性的新危机255
第十章 逻辑主义与直觉主义280
第十一章 形式主义与集合论公理化基础320
第十二章 灾难338
第十三章 数学的孤立364
第十四章 数学向何处去402
第十五章 自然的权威431
人名索引468
参考文献483 |
数学：确定性的丧失／（美）克莱因著；李宏魁译.—2
版.—长沙：湖南科学技术出版社，2007.7
(第一推动丛书)
书名原文:Mathematics：The Loss of Certainty
ISBN 978-7-5357-1857-X
I. 数… Ⅱ.①克…②李… Ⅲ.数学－研究 Ⅳ.O1-0
中国版本图书馆CIP数据核字（2007）第044352号 |
M·克莱因，美国纽约大学柯朗数学研究所的荣誉教授，曾任《数学杂志》的副主编，《精确科学史档案的主编，它的著作还有《西方文化中的数学》、《古今数学思想》等。
自从欧几里得建立了现代数学的明确模式以来，他是比任何人都更好地理解了数学的思想家。
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第一章 数学真理的起源
极度幸福的灵魂，
是为谁而激发!
为了这些真理，
去度量闪烁的星空！
他们用思想的缰绳，
驯服了桀骜的天体。
过去扑朔迷离的天空，
现在变得清清楚楚。
——奥维德
任何值得一提的文明都探索过真理。思索的人们尽管不能，但总是试图去理解复杂多变的自然现象，去解开人类如何定居在这个地球上的谜题，去弄明白人生的目的，去探索人类的归宿。在所有早期文明中，这些问题的回答都是宗教领袖给出的，并为人们所普遍接受。只有古希腊文明是个例外。希腊人发现(人类所作出的最伟大的发现)了推理的作用。正是古典时期(公元前600年至前300年间的鼎盛时期)的希腊人，认识到人类有智慧、有思维(有时佐以观察或实验)，能够发现真理。
是什么导致希腊人作出这个发现，这个问题不大好回答。把推理用于人类活动和思维的始祖曾生活在爱奥尼亚——古希腊人在小亚细亚的一个定居处。许多历史学家试图依据政治和社会环境对此作出解释，比如，爱奥尼亚人有更大的自主性去无视统治欧洲希腊文明的宗教信仰。但是，我们所知的在约公元前600年以前的希腊历史过于零碎，无法作出明确的解释。
〖〗数学：确定性的丧失〖〗〖〗第一章〖〗数学真理的起源当时希腊人把推理用于政治体系、伦理道德、法律、教育和其他许多方面。他们的主要地、决定性地影响了后代文明的贡献是接受了对推理的最强有力的挑战，知道了自然界有规律可言。在作出这个贡献以前，希腊人和古代其他文明时期的人们认为自然是混乱、反复无常，甚至是恐怖的。自然现象是无法解释的，或者是神的意志决定的，只有用祈祷、祭祀和其他宗教仪式来解脱。其卓越的文明可追溯到公元前3000年的巴比伦人和埃及人，他们确实注意到了日月运动的周期现象，并据此设立了历法，但却没有更深入地研究它们。这些极少的偶然的观察没有改变他们对自然的态度。
希腊人敢于正视自然。他们的精神领袖(如果不是普通民众)摒弃了传统观念、超自然力、迷信、教条和其他思想束缚。他们是最早检验并试图理解各种谜一般的复杂的自然活动的人们。他们以思维与似乎瞬息万变的宇宙现象抗争，将理性之光洒于其上。
他们有着永不满足的好奇心和勇气，他们提出和回答了许多人遇到过、但却极少人试图解决，并且只能被具有最高智力水平的人所解决的问题。整个宇宙的运转是有计划的吗？植物、动物、人类、星系、光和声，仅仅是物理现象还是一个完美设计的一部分?由于希腊人总梦想着提出新见解，所以他们建立了后来统治整个西方思想中关于宇宙的概念。
希腊的智者们对自然采取了一种全新的态度。这种态度是理性的、批判的和反宗教的。神学中上帝按其意愿创造了人和物质世界的信仰被摒弃了。智者们终于得出了这样的观念；自然是有序的，按完美的设计而恒定地运行着。从星体的运动到树叶的颤动，所有感官能感知的现象都能用一种精确、和谐而理智的形式来描述。简而言之，自然是按理性设计的，这种设计，虽然不为人的行为而影响，却能被人的思维所理解。
希腊人不仅是探索混杂现象的秩序和规则的勇敢的先驱，而且也是以才智发掘出自然现象显而易见所遵循的基本模式的先驱。他们敢于询问并且发现了人类观测到的最壮观的景象的基本规律：朝升夕落的太阳，阴晴圆缺的月亮，光彩夺目的行星，星汉灿烂的夜空，奇妙无比的日食、月食。
正是公元前6世纪的爱奥尼亚哲学家首先尝试寻求对大自然和宇宙运行规律的合理解释。这一时期的著名哲学家们，如泰勒斯(Thales)、阿那克西曼德(Anaximander)、阿那克西米尼(Anaximenes)、赫拉克利特(Heraclitus)和阿那克萨哥拉(Anaxagoras)，各自恪守一个主旨去解释宇宙的构成。比如泰勒斯认为万物都是由气态、液态和固态的水组成的，他试图用水的观点解释许多现象——这是一个不无道理的解释。因为云、雾、露、雨和雹是水的不同形态，而水是生命不可缺乏的，它滋润庄稼，养育动物。现在我们知道甚至人体的90％是水。
爱奥尼亚人的自然哲学是一系列的大胆的观察，敏锐的猜测和天赋的直觉，而不是广泛而细致的科学研究的成果。这些人也许有些过于急切看到世界的全貌，从而匆匆忙忙得到一些泛泛的结论。但他们的确抛弃了一些陈腐的神秘观点，而代之以唯物主义的，对宇宙的设计和运行的客观解释。他们以理性方法取代了幻想和非批判的观点，用推理来论证自己的观点成立。这些人敢于用思维来对待世界，拒绝依赖神灵、意志、鬼怪、妖魔、天使和其他也许能够维护或毁灭自然现象的神秘力量。可以用阿那克萨哥拉的话来表述这种理性观点的精髓：“理性统治着世界。”
摒除故弄玄虚、神秘主义和对自然运动的杂乱无章的认识，而代之以可理解的规律的决定性的一步是数学知识的应用。在这里，希腊人展示出一种可以与推理的作用的发现相媲美的、几乎同样富有想像力和独创性的洞察力：宇宙是以数学方式设计的，借助于数学知识，人类可以充分地认识它。最早提出自然界数学模式的是以毕达哥拉斯(Pythagoras)为领袖的坐落于意大利南部的毕达哥拉斯学派。虽然他们从盛行的致力于灵魂的净化和将它从肉体的污浊束缚中解脱出来的希腊宗教中吸收了灵感和信条，其自然哲学却是完全理性的。毕达哥拉斯派震惊于这样一个事实，即由定性地看各种各样的现象都表现出相同的数学性质，可推知数学性质必定为这些现象的本质。更精确地，他们从数和数的关系方面发现了这种本质。数学是他们解释自然的第一要素，所有物体都是由物质的基本微粒或“存在单元”根据不同的几何形状组成的。单元的总量实际上代表了实在的物体，数学是宇宙的实体和形式。因而毕达哥拉斯学派认为：“万物皆数也。”因为数是万物之“本”，对自然现象的解释只有通过数字才能得出。
这种早期的毕达哥拉斯派思想是令人迷惑的。因为对于我们来说，数字是抽象概念，而事物是实际存在的。但我们已经得到了一种数字的抽象，而早期的毕达哥拉斯派并未做到。在他们看来，数字是点或微粒。他们提到三角形数、正方形数、五边形数时，想到的是点集、晶状体或点状物体。如图11至图14所示。
图11三角形数图12正方形数图13五边形数图14六边形数虽然历史片段没有提供精确的年代数据，这一点却是无疑的，即毕达哥拉斯学派发展并完善了自己的认识。他们开始把数字理解为抽象概念，而物体只不过是数字的具体化。有了这一后来的特性，我们可以明白菲洛罗斯(Philolaus)的论述：“如果没有数和数的性质，世界上任何事物本身或与别的事物的关系都不能为人所清楚了解……”你不仅可以在鬼禅的事务上，而且在人间的一切行动和思想上乃至在一切行业和音乐上看到数的力量。
例如，毕达哥拉斯学派之所以能把音乐归结为数与数之间的简单关系，乃是因为他们发现了下列两个事实：第一，弦所发出的声音取决于弦的长度；第二，两根绷得一样紧的弦，若一根是另一根长的两倍，就会产生谐音。换言之，两个音相差八度。如两弦长为3比2，则发出另一谐音。这时短弦发出的音比长弦发出的音高五度。确实，产生每一种谐音的多根弦的长度都成整数比。毕达哥拉斯学派也搞出了一个著名的音阶。我们虽然不打算讲许多希腊时代的音乐，但要指出许多希腊数学家包括欧几里得和托勒密，都写过这方面的著作，特别是关于谐音的配合，而且还制定过音阶。
毕达哥拉斯学派把行星运动归结为数的关系。他们认为物体在空间运动时会发出声音，这也许是从绳端吊一东西摆动时发出声音这一方面引起的特例。他们还认为运动得快的物体比运动得慢的物体发出更高的音。根据他们的关系，离地球越远的星，运动得越快，因此行星发出的声音(我们因为从出世之日起就听惯了，所以觉察不出来)因其与地球的距离而异而成谐音。但因这“天籁之音”也像所有谐音一样可以推为数的关系，所以行星运动也是这样。
自然界的其他形形色色特性也可“归结”为数。1、2、3、4这四个数，叫四象，是特别受重视的。据说毕达哥拉斯学派的誓词即是：“谨以赋予我们灵魂的四象之名宣誓，长流不息的自然的根源包含于其中。”他们认为自然是由四元性组成的，点、线、面和立体。后来柏拉图强调的则是4种物质元素，土、气、火、水。
四象的4个数字之和为10，所以10是个理想数，其代表宇宙。为了填满这个数字，毕达哥拉斯学派引入了中心地球，加上日、月，已知的五大行星和位于中心地球另一侧的反地球。我们看不到中心地球和反地球，因为我们所居住的那部分地球是背朝它们的。我们在这里不打算详细叙述细节，关键一点是毕达哥拉斯学派将天文学建筑在数的关系之上。
由于毕达哥拉斯学派将天文学和音乐“归结”为数，这两门学科就同算术和几何发生了联系。这四门学科都被人看成是数学学科，甚至一直到中世纪，仍被包括在学校课程中，当时号称“四大学科”。
亚里士多德在《形而上学》一书中，总结了毕达哥拉斯学派对数的现实世界的认识：
他们似乎察觉到了存在的以及将要形成的事物在数方面的共性，而不仅仅表现在火、土和水上(这样或那样数字的修正是合法的，另一种是精神和推理，再一种则是机会——同样几乎所有的其他事物都可用数字表达)；又因为音阶的修正和比例可用数字表示；还由于其他事物在本质上都能用数字来模式化，数字似乎是整个自然界的先驱。他们认为所有事物里都含有数的成分，整个太空就是一个音阶或一个数字。
毕达哥拉斯学派的自然哲学很难与实际相吻合。美学考虑和对数学关系的穷追不舍相混合，当然会导致超越实际观察的论断。毕达哥拉斯学派也未使物理科学的任一分支向前发展，可以公正地称其理论为肤浅的。但或是凭运气或是凭天生的直觉，毕达哥拉斯学派的确言中了后来两条证明是极为重要的信条：第一是自然界是按数学原理构成的；第二是数学关系决定、统一并显示了自然的秩序。实际上现代科学也坚持毕达哥拉斯学派对数学的强调，虽然，正如我们将看到的，现代理论是毕达哥拉斯学派理论的更为高级的形式。
毕达哥拉斯学派之后的哲学家更加关注现实世界的本质和基本的数学设计。留基伯(Leuccipus)和德谟克里特(Democritus)由于更加清晰地确定了原子论而闻名于世。他们的共同哲学观点是：世界是由无穷多个简单的、永恒的原子组成的。这些原子的形状、大小、次序和位置各有差异，但每个物体都是由这些原子以某种方式组合而成的。虽然几何上的量，如直线段，是无限可分的，原子却是终极的，不可再分的质点。形状、大小等只是原子的特性，其他性质如味、热则非原子所固有而来自观察者，所以感性认识不可靠，因它随观察者而异。原子论者也和毕达哥拉斯学派一样，认为隐藏在自然界不断变化着的万象之下的真实性是可用数字来表示的，而且认为这个世界上所发生的一切是由数字规律严格确定了的。
继毕达哥拉斯学派之后，传播这种主张最有影响的，当属由柏拉图领导的柏拉图学派。柏拉图接受了一些毕达哥拉斯学派思想，他控制了公元前4世纪这一重要时期希腊人的思想。他是雅典柏拉图学园的创立者，这个学园是一个吸引了当时一流思想家的中心，存在了900年之久。
也许在柏拉图的对话《爱好者》中，其对于宇宙的合理性的信仰表现得最为出色。
(普洛塔库斯简称普，苏格拉底简称苏)
普：什么问题?
苏：他们所说的宇宙是不可推理、杂乱无序的，抑或像我们前人所认为的是由极高的才华和智慧所控制和有序化的。
普：迷茫的苏格拉底，这两种论点截然相反，你刚才的话我认为亵渎了神明，但是一个观点，即思维统治万物，却是极富有价值的。我别无他求。
后来毕达哥拉斯学派和柏拉图学派在物质世界和理想世界之间产生了尖锐的分歧。物质世界的事物及联系是不完美、变化和衰落的，因而不能代表终极真理。但有一个绝对而不变的真理的理想世界，这些真理正是哲学家们所关注的。对于物质世界我们只可能有观点，可见、可感知的世界只是理想世界的一个模糊迷离、不完美的拷贝。“事物是思想在经验屏幕上的投影”。由于现实可在感觉和实物中找到，因而柏拉图认为一匹马、一间屋或者一个完美的女子并不真的存在。现实只存在于马、房屋、女子的广为接受的形式或观念之中。永恒的知识只能从纯粹理想的形式中获得，这些思想实际上是永恒不变的。关于它们的知识是稳固而坚不可摧的。
柏拉图坚持认为只有从理想世界的数学知识来理解现实世界的实在性和可知性，无疑这个世界是数学化的。普鲁塔克(Plutarch)道出了柏拉图的名言：“上帝终究要将世界几何化。”在《共和国》一书中，柏拉图认为“几何学所要求的知识是永恒的，而不是转瞬即逝或反复无常的”。数学定律不仅是现实的本质，而且永恒不变。数字关系也是现实的一部分，实际事物不过是数字的模拟体。早期毕达哥拉斯学派认为数字是事物内在固有的，而柏拉图认为数字超越了事物。
柏拉图比毕达哥拉斯学派前进了一步，他不仅希望用数学来理解自然界，而且要用数学来取代自然界本身。他相信，对物质世界仅用少量决定性的几步推理，即能得到基本的真理。按此观点将只有数学存在，数学将取代物理研究。
普鲁塔克在他的《马塞鲁斯的生平》一书中提及欧多克斯(Eudoxus)和阿基塔斯(Archytas)(柏拉图同时代的名人)运用实际论据来“证明”数学结果。但柏拉图义愤地贬斥这种证明为几何学的堕落；指责他们利用感性知识来取代纯粹的推理。
柏拉图对于天文学的观点显示了他正在探索这门科学的立场。他认为，这门学科研究的不是可见的天体的运动。天空中星体的排列和明显可见的运动的确奇妙美丽，但仅有对运动的观察和解释远称不上真正的天文学。在接触这门真正的科学之前，我们必须抛开“天体”，因为真正的天文学探求的是数学化宇宙中星体的运动定律，而可见的天体只是其不完美的表现形式。他鼓动人们献身于理论天文学，因为其问题取悦于人的心智而不是视觉，其对象由人的心智就能感受到而不是凭眼睛所看见。天空中呈现出的各种图形只可用作探索更深层真理的辅助图表。我们必须把天文学看成几何学一样，仅仅是由可见事物揭示的一系列问题。柏拉图对航海、历法和计时中的天文学的使用并不感兴趣。
亚里士多德虽然是柏拉图的学生并从老师那儿继承了许多思想，对于现实世界以及数学和现实之间的关系的探究却有着不同的看法。他批评柏拉图的冥世思想以及把科学归结为数学的认识。亚里士多德是个物理学家，他相信物质的东西是实在的主体的源泉。物理学乃至一般的科学必须研究现实世界并从中获取真理。真正的知识是从感性的经验通过直观和抽象而获得的，这种抽象不能独立于人的思维而存在。
亚里士多德的确强调从实物中抽象出的普适的一般的性质。为了获得这些性质，他认为我们应“从可知和可观察的事物出发，向着本质上可为人们认识的逐渐清晰的事物前进”。他抽取物体的明显的感性特征，使之具体化并上升为独立的精神上的概念。
在亚里士多德关于事物的分类方案中，把数字摆在什么地位呢?物理科学是基础科学，数学则从描述形式上的特征(如形状和数量)这方面来帮助研究。它也为物质现象中观察到的事实提供解释。例如几何说明光学和天文学提供的事实，算术上的比例关系能说明产生谐音的理由。但数学概念和原理肯定是从现实世界中抽象出来的，正因为如此，它们也可用于现实世界。思维使我们可以从感性认识获得实物的理想化特征，这种抽象必然是真实的。
对于铸造和构成了希腊思维世界的哲学家的短暂回顾也许有助于说明为什么他们为了了解、欣赏更深层次的内涵，都重视对实质的探讨。而且，从毕达哥拉斯开始，所有哲学家都认为世界是依照数学设计的。在这个经典时期末期，上述观点已经确立，并且开始了对数学规律的探求。虽然这个观点并未影响后世所有的数学家，但一旦为人接受，它就作用于大多数伟大数学家的思维，甚至影响了那些尚未接触过它的人。希腊人这一重要思想的最大胜利是他们认为宇宙是按可为人类思维所能发掘的数学规律运行的。
于是希腊人决定寻求真理，特别是关于自然的数学化设计的真理。人们怎样寻求真理并证明其是真理呢?在此，希腊人也绘出了方案。这个方案在从公元前600年到公元前300年这段时期逐渐发展，它是何时由何人最先提出尚无定论，但到公元前300年，它已经相当完善了。
从广义的、使用数字和几何图形这方面来看，数学早于古典时期希腊人的研究几千年就开始形成了。广义来讲数学包括了许多已经消失了的文明(最有名的有埃及文明和巴比伦文明)的贡献。除了希腊文明外，在其他文明中数学并不是一个独立体系，它没有形成一套方法，仅为了直接而实用的目的被研究。它是一种工具，是一系列相互无关的、简单的、帮助人们解决日常问题的规则，如推算日历、农业和商业往来。这些规则是由试探、错误、经验和简单的观察得到的，许多都只是近似的正确。这些文明中的数学的最优之处在于，它显示了思维的某些活力和坚韧，尽管不严格，成就也远非辉煌。这类数学的特点可用经验主义一言蔽之。巴比伦人和埃及人的经验主义数学为希腊人的研究工作揭开序幕。
虽然希腊文明没有完全脱离外界影响——希腊思想家们曾在埃及和巴比伦游历学习，尽管现代意义上的数学必须经受希腊的理性氛围的熏陶，但是希腊人的创造与他们所吸收的知识却有天壤之别。
希腊人已决心探索数学真理。他们不能把工作建筑在前人(有名的埃及人和巴比伦人)粗糙的、经验主义的、有限的、零散的，在很多情况下是不精确的成果之上。数学原本是一些关于数字和几何图案的基本事实，必然是一个真理体系。数学推理旨在推导出关于自然现象，如天体运动的真理，必然得出不容置疑的结论。怎样达到这些目的?
数学的本原应是处理抽象对象。对于创造了希腊数学的哲学家来说，严格的真理只适用于永恒不变的实体以及关系。幸运的是，人类由对事物的感性认识得到的认识可以上升为较高层次的理念，这便是思想，永恒的现实和思想的真实载体。青睐抽象还有一个原因，欲使数学更强有力，就必须在一个抽象概念中包含它所表示实物的本质特征。从而数学上的直线必须包括拉伸的绳子、直尺边、田地的边界和光线的路径。相应地，数学上的直线没有粗细、颜色、分子结构和绷紧度之分。希腊人明确地指出数学是处理抽象事物的。柏拉图在《共和国》中提及几何学家：
你是否也知道，他们虽利用可见的形象并拿来进行推理，但他们想的并不是这些东西，而是类似于这些东西的理想形象：他们所看到的不是所画的图形，而是绝对正方形及绝对直径……他们力求看到事物本质，而这只有用心灵之目才能看到。
因而数学首先处理点、线和整数等抽象概念。其他概念，如三角形、正方形和圆可以用基本概念来定义，而基本概念正如亚里士多德所说应该是不可定义的，否则就没有起始点。希腊人的精明之处表现在，他们要求被定义的概念应有现实的对应物体，或是论证得到或是构造得到。因而人们无法定义三等分角并证明有关它的定理，它可能并不存在。实际上，由于希腊人无法在他们自己提出的作图条件下三等分角，他们就没有引入这个概念。
为了推导出数学概念，希腊人从自明的、无人怀疑的公理入手。柏拉图用他的回忆理论证明了公理的可行性。正如我们前面提到过的，他认为存在一个真理的客观世界。人在出世前有过精神世界的经历，只要激发一下就可以回忆起以前的经历从而认识到几何学公理是真理，这并不需要实践。但亚里士多德并不这样认为，他认为公理是可理解的原理，符合思维而没有什么可怀疑的。亚里士多德在《后验分析》中指出，我们凭着绝对可靠的直觉认识到公理是真理，而且，我们必须以这些公理作为推导的基础。相反，如果使用了一些并未证明是真理的事实，下一步推理就需要证明这些事实，而这一过程是无限循环的，那么这就变成了永无止境的回退。他又区分了公理和公设，公理对所有思想领域皆真，包括“等量加等量还是等量”这样的命题。公设则适用于专业学科，如几何学，从而有“两点决定一条唯一的直线”。亚里士多德也的确指出公设无需一望便知其为真，但应被其所推出的结果所支持。然而这种不证自得的真理是数学家所需要的。
从公理出发，可用推理得出结论。有多种推理方法，比如，归纳、类比和演绎，其中只有一种能够证明结论的正确性。由1000个苹果都是红的而得出苹果都是红的这个结论，是归纳，不一定可靠。类似的，由于约翰的兄弟已从大学毕业，而约翰受教于同样的老师，所以也应该能从大学毕业，这是由类比推出的推理，当然也是不可靠的。然而，如果假定人终将一死，而苏格拉底是人，则必然接受苏格拉底也会死这样的结论。这里所涉及到的逻辑，亚里士多德称之为三段式演绎法。在亚里士多德的其他推理规则中，还有归谬法(一个命题不可能既真又假)及排中律(一个命题必须为真或假)。他和世人都毫无疑问地承认这些推理原理用于任一前提时，推导出的结果和前提一样可靠。因此，如果前提为真，则结论也为真。值得一提的是，后面我们将要讨论的，亚里士多德从已为数学家所应用的推理方法中抽象出了演绎逻辑法。
虽然几乎所有希腊哲学家都宣称演绎推理是获取真理的唯一可靠方法，柏拉图的观点却有些不同。他虽然不否定演绎证明，却认为没必要。因为数学公理和定理存在于不依赖于人的意志的客观世界，根据柏拉图的回忆理论，人们只须回忆并且承认他们那些毋庸置疑的真理，用柏拉图在《西艾泰德斯》一书中的比喻来说，定理，就像关在鸟笼中的鸟。它们呆在那里，你只需伸手进去抓住它们。学习就是一个收集的过程。在柏拉图的对话《梅农》里，通过巧妙地询问一个年轻奴隶，苏格拉底证实了同底等高的正方形面积是等腰三角形面积的两倍。从而苏格拉底成功地得出结论，即便是没有受过几何学训练的奴隶也可以在适当的提示下回忆起来。
认识到人们是多么坚定相信演绎推理是很重要的。假设一位科学家在不同地区测量了100个形状大小不同的三角形，发现它们的内角和在实验精度允许范围内都是180°，他当然可以下结论，任何三角形的内角和都是180°。但他的证明是归纳而不是演绎，从而在数学上不会被认可。同样，只要你高兴，你可以检验任意多的偶数，发现它们都是两个素数的和，但这种检验也不是演绎证明，因而结果也不是数学定理。那么看来，演绎证明是一种很严格的要求。但是，希腊的数学家们，他们(主要是哲学家)坚持一定要用演绎推理，因为这样可以得到真理，永恒的真理。
哲学家们偏爱演绎推理还有一个原因，他们致力于理解人类和物质世界的广泛知识。为了建立普遍成立的真理，如人性本善，又如世界是既定的，或人本有为而生之，从可接受的基本原理进行演绎推理要比用归纳或类比，更加可行。
古希腊人喜爱演绎法的另一个原因应归结于他们的社会构成。富有阶层进行哲学、数学和艺术活动，这些人不干体力劳动。奴隶、非公民和自由手工业者，从事商业和家务劳动，甚至从事最重要的职业。受过教育的自由人不动手，很少进行商贸活动。柏拉图认为商贸活动，对于自由人来说是堕落，他还希望，如果自由人从事了这一行，就要被视为犯罪而受到惩罚。亚里士多德认为在理想条件下公民(与奴隶相对)不应从事任何商业。在毕欧钦人(Boeotian，希腊人的一个部落)中，用商务来亵渎自己的人10年内不得担任公职。对于这种阶层里的思想家，是不用实验和观察的，因此也无法从中获得科学或数学结论。
虽然希腊人坚持运用演绎推理的原因很多，但还有一个问题，即：是哪个哲学家或哲学派别首先提出这个要求的。遗憾的是，我们对于苏格拉底时代以前的哲学家们的学说和著作的认识是零碎的，尽管众说纷纭，却无定论。到了亚里士多德时代，对演绎推理的要求已经确定，因为他阐明了不可定义概念的必要性和推理方法的严格标准。
希腊人欲得到宇宙的数学规律，他们在这方面成就如何呢?由欧几里得、阿波罗纽斯(Apollonius)、阿基米得(Archimedes)和托勒密(Ptolemy)所创立的数学的精华有幸传给了我们。在时间上他们属于希腊文化的第二个重要时期，亚历山大里亚时期(公元前300年~公元600年)。在公元前4世纪，马其顿的菲利浦王着手征服波斯人，后者控制了近东，是欧洲希腊人的世敌。菲利浦被刺后，其子亚历山大继承了王位。亚历山大击败了波斯人，把扩大的希腊帝国的文化中心迁到了一个他谦虚地以自己名字命名的新城市。亚历山大死于公元前323年，但他发展新中心的计划由其在埃及接受了托勒密王号的后继者继续。
可以肯定欧几里得约于公元前300年生活在亚历山大里亚，在那里教育学生，虽然他自己也许是在柏拉图学院完成了学业。顺便提一句，这是我们所了解的欧几里得个人生活的全部。欧几里得著作具有系统、演绎的形式，是许多古希腊人孤立发现的汇合，他们的主要著作《几何原本》给出了空间和空间中图形的规律。
欧几里得的《几何原本》是他对空间几何的全部贡献。欧几里得从一本已失传的书中接收了圆锥曲线的理论，在亚历山大里亚学习数学的小亚细亚拍加人阿波罗纽斯，继续其关于抛物线、椭圆和双曲线的研究，并写出了这方面的经典著作《圆锥曲线》。
在亚历山大里亚受教育而生在西西里的阿基米得对纯几何学知识增添了几本著作《论球和圆柱》，论《劈锥曲面体与球体》，《抛物线的求积》。他都是用欧多克斯(Eudoxus)提出的方法来计算复杂的面积和体积，后来被称作穷竭法。现在这些问题可用微积分来解决。
希腊人对空间和空间图形的研究，作出了一个重要贡献——三角学。这一学科的创始人是喜帕恰斯。他生活在罗德斯和亚历山大里亚，约死于公元前125年。三角学由梅内劳斯(Menelaus)发展，并由在亚历山大里亚工作的埃及人托勒密给出完整的、权威的描述。他的主要著作《数学汇编》，阿拉伯人称之为《大汇编》，知名度更广。三角学研究三角形边、角的量化关系。希腊人主要关注球面上的三角形，其边是由大圆(圆心在球心)弧组成的。因为在希腊天文学中，行星和恒星沿大圆运行，所以他们的三角学，主要应用于行星和恒星的运动。同一理论加以改变，又可用于平面上的三角形，这正是我们现在学校里所学的那种三角学形式。三角学的引入要求其使用者具有较高深的算术和某些代数知识。希腊人怎样在这些领域内工作的，我们将在后面讨论(见第五章)。
借助于这样一些发现，数学从模糊的、经验的割裂状态转变成为辉煌的、庞大的、系统化的和充满智慧的创造物。然而，欧几里得、阿波罗纽斯和阿基米得的经典著作(托勒密的《大汇编》是个例外)所涉及的空间及空间图形的性质却囿于视野之内，对其中所蕴含的更广泛意义却少有提示。这些著作似乎和揭示自然的真理无关，实际上，他们只是给出了一种形式上的、精练的演绎数学。在这方面，希腊数学课本与现代数学课本和文献没有什么两样。这些书的目的仅仅是为了组织和显示已取得的数学成果，而省略了这些工作的动机，定理的来源和提示及其应用。因而许多研究古希腊科学的人都认为，古希腊这一时期的数学家主要是为了数学本身而探索数学，他们指出并证实了这个论断，并提及欧几里得的《几何原本》及阿波罗纽斯的《圆锥曲线》这两部当时最著名的著作。然而，就像仅凭二项展开式定理就得出牛顿是一个纯粹数学家的结论，他们仅凭这两部著作就得了这个论断，视野未必过于狭窄。
真正的目的是探索自然。在物质世界的探索中，甚至连几何学的真理也是非常重要的。很清楚，对于希腊人，几何学原理是宇宙的整体结构的体现，空间是其中的基本组成部分。因而关于空间和空间图形的探索是宇宙探索的基本工作，几何学实际上是一门更大的宇宙科学的一部分。比如，当天文学数学化时(在柏拉图时代出现)，球体上的几何学研究就着手进行了。实际上，希腊语中的球一词，对毕达哥拉斯派的人来说，就意味着天文学。欧几里得的《现象》就是专门讨论用于天文学的球面几何学的。有了这些证据和对更近代的数学的发展状况更充分的了解，我们也许可以肯定这一点，即科学探讨必然会引起数学问题，而数学是探索自然的一部分。我们不必专门去研究这些，只需检验希腊人在探索自然中做了些什么，以及这些人中包括谁。
物理科学中最伟大的成就是在天文学上取得的，柏拉图很清楚巴比伦人和埃及人做出的大量天文学观测，但却强调说他们没有建立或统一理论，没有对看上去无规律的行星运动作出解释。欧多克斯(柏拉图学园里的一名学生，其纯粹几何学工作包括在欧几里得《几何原本》的第五篇和第十二篇中)着手解决“整理外观”的问题。他的解答是历史上第一个相当完备的天文学理论。
我们描述欧多克斯的理论，只是为了表明它是完全彻底的数学化理论，并且涉及天体的相互作用。这些球体，除了那个固定的恒星外，都不是物质实体，而是数学的构想。他也不想尝试去描述引起球体转动的力，他的理论在思想上是极先进的，因为在今天，科学的目的就是为了寻求数学描述而不是物理解释。在欧多克斯之后这一理论为三位最著名的理论天文学家阿波罗纽斯、喜帕恰斯和托勒密所继承，其成果包括在托勒密的《大汇编》一书里。
阿波罗纽斯关于天文学的著作现已失传。他的著作，被希腊人，甚至包括托勒密在他的《大汇编》(第十二篇)中广为引用。他作为一个天文学家是如此著名以致获得了艾普西隆(希腊字母ε的读音)的雅号，因为他对月球运动做了许多研究工作，而ε是月球的记号。关于喜帕恰斯的工作我们只知道一点，他的工作也同样地被《大汇编》引用。
图15现在我们所承认的托勒密天文学的基本方案在欧多克斯和阿波罗纽斯时代的希腊天文学就已形成。在这种方案中，行星P以S为中心做匀速圆周运动，而S本身以地球E为中心做匀速圆周运动。S运动的圆叫从圆，P运动的圆叫周转圆。对某些行星来说，点S就是太阳，但在其他情形下则只不过是数学上假设的一个点。P与S的运动方向可能相符，可能相反，太阳和月球的情况就属于后一种。托勒密也将这套方案加以变化来描述某些行星运动。通过适当选取周转圆和从圆的半径以及天体在周转圆上的和周转圆心在从圆上的运动速度，喜帕恰斯和托勒密所描述的天体运动与那时的观测结果十分吻合。从喜帕恰斯时代起，人们就能预报月食，误差不超过一两小时，但对日食的预报却不那么准。这种预报之所以可能，是托勒密运用了他称之为专门为天文学而发明的三角学。
从探求真理的观点来看，值得提及的是托勒密和欧多克斯一样，充分认识到他的理论只是符合观测结果的方便的数学化描述，而不一定是自然的真正设计。对于某些行星，他有几种可供选择的方案，他选择了数学上较简单的那个。托勒密在他的著作《大汇编》的第十三篇中说，在天文学上，人们应寻求尽可能简单的数学模型。但托勒密的数学模型，被基督教接受为真理。
托勒密的理论提供了第一个相当完整的证据，说明自然是一致的而且具有不变的规律，而且也是希腊人对柏拉图提出的合理解释表观天体运动这一问题的最后解答。在整个希腊时期没有任何一部著作能像《大汇编》那样对宇宙的看法有如此深远的影响，并且除了欧几里得的《几何原本》以外，没有任何别的著作能获得这样毋庸置疑的威信。
对希腊天文学的这一简短叙述，自然不足以显示即令只是在这里所提到的几位希腊学者工作的深度和广度，并且还略去了其他许多贡献。希腊天文学博大精深，并且应用了大量数学，而且，几乎每一位希腊数学家，包括大师欧几里得和阿基米得，都研究过天文学。
希腊人关于实在的真理的成果并不局限于空间和天文学的数学，他们还创建了力学。力学研究可作为质点处理的物体及经过外延后的物体的运动，还有引起运动的力。在《物理学》一书中，亚里士多德把标志希腊力学顶峰的运动定理归纳到一起。和他的所有物理学一样，他的力学也是建立在一些理性的，似乎是自明的原理之上，与观测结果完全吻合。虽然这一理论支配世界几近2000年，但我们不打算重述，因其为牛顿力学取而代之。关于亚里士多德运动理论值得一提的是阿基米得关于物体重心的工作和杠杆定律。所有这些，都体现了数学的重要作用，从而更加证实了数学是洞察自然设计的基础。
继天文学和力学之后，光学成为人们最经久探索的学科。这门数学学科也是希腊人创建的。从毕达哥拉斯派开始，几乎所有的希腊哲学家都致力于光、像和色的性质的探索。我们关心的却是这些方面的数学成就。第一项成就是西西里岛阿格里真坦的伊姆班道克斯(Empedocles of Agrigentum)先验地提出的光以有限速度行进的说法。光学的第一批系统性著作是欧几里得的《光学》和《镜面反射》。《光学》研究视像问题以及怎样从视像确定物体的大小。《镜面反射》描述从平面镜、凸透镜和凹透镜反射出来的光的习性以及它对我们视觉的影响。这书也像《光学》一样，是从实际上就是公设的一些定义出发的。定理1(现代教科书上是一条公理)称为反射定律，是几何光学的一条基本定理。这定理说从A点出发的入射光线与镜面所成角A等于反射光线与镜面所成角B(图16)。欧几里得还证明了光线照射在凸透镜或凹透镜面上的规律(图17)。在切点处，他以切线来代替镜面。这两本书在内容及编排上都是用数学来处理的，像欧几里得的《几何原本》一样，定义、公理和定理贯穿始终。
图16图17从反射律出发，数学家和工程师海伦(Heron)推出一个重要结论。如果P和Q是图16中直线ST同侧的任意两点，则从点P到直线再到点Q的一切路径中，以通过直线上点R使线段PR和QR与直线的夹角相等的那条路径为最短，而这恰好就是光线所经过的路径。所以，光线从P出发经过镜面再到Q是采取最短路程的。很明显，自然界是很了解几何且运用自如的。这个命题出现在海伦的《镜面反射》一书中，那也是讲述凹透镜、凸透镜和反射镜的组合的我们今天所拥有的版本，也许是包括欧几里得在内，若干人著作的汇编。——原注。
有不少著作是论述光线在各种形状镜面上的反射的，其中有阿基米得所著而现已失传的《镜面反射》以及迪奥克斯和阿波罗纽斯所写、书名同为《论点火镜》的两部著作。点火镜是星球面形、旋转椭球面形(椭圆绕其长轴旋转而生成的形体)和旋转抛物面形的凹透镜。阿波罗纽斯肯定知道，而且迪奥克斯的书里也包含有抛物镜面能把焦点处发出的光反射成平行于镜面轴的光束(图18)的证明。反之，若照射的光线平行于轴，则反射后就聚集在焦点处，这样就可把太阳光聚集在焦点处产生高温，从而有点火镜之名。据说阿基米得就是利用抛物镜面的这一性质把日光集中到围攻他的家乡叙拉古的罗马船上使它们起火的。阿波罗纽斯也知道其他圆锥曲线的反射性质，例如，从椭圆镜面一焦点发出的光经反射后会集中到另一焦点上，他在所著《圆锥曲线》第三篇里讲述了椭圆和双曲线的有关几何性质。
图18希腊人还创建了许多其他学科，著名的有地理学和流体静力学。施勒尼的厄拉多塞(Eratosthemes of Cyrene)是亚历山大里亚图书馆馆长，被认为是古代最有学问的人。他计算了为希腊人所知道的地球上的许多重要地点之间的距离。他也对地球(大圆)的周长作了一个著名而相当准确的计算，并写了一本书《地理学》。在书中他不但描述了他所用的数学方法，而且给出了地表变化的原因和解释。
地理学最深刻的著作是托勒密那部包含八个篇章的《地理学》，托勒密不仅拓展了厄拉多塞的工作，而且用和我们现在所用的完全类似的经纬度，定位了地球上8000个位置。托勒密也给出了绘制地图的方法，其中，有些现在还在运用，特别是球极平面投影法。在所有这些地理学工作中，从公元前4世纪就开始应用的球面图形的几何学是基础。
流体静力学这门学科讨论放置在水中的物体所受到的压力，阿基米得的《论浮体》一书是这方面的奠基作。像我们曾讨论过的所有其他著作，其方法和结论推导都是彻底的数学化。特别的，它包含了现在称之为阿基米得原理的定律：浸在水中的物体受到的浮力，等于其所排开的水的重量。为什么人们能在肆虐泛滥的世俗洪水中免于沉沦，我们也要归功于阿基米得。
尽管对数学的演绎推导和自然定律的数学表示统治了亚历山大里亚希腊时期，我们还应该注意这一时期的人与古典希腊时期的人不同，他们也求助于实验和观测。他们继承并利用了巴比伦人2000多年来所获得的相当精确的天文学观测结果。喜帕恰斯把当时能够观察到的星体制成表格，当时的一些发明物(主要由阿基米得和数学家及工程师海伦完成)包括日晷、星盘、蒸气和水力的运用。
由埃及亚历山大的直接继承者托勒密一世创办的亚历山大里亚艺术宫极为闻名。艺术宫内学者云集，有一个藏书40万册的著名图书馆，由于它无法存放所有的手稿，另外30万卷便存放在塞拉皮斯的神庙里。学者们也为学生授课。
利用他们的数学成就和许多科学研究结果，希腊人对宇宙是依据数学设计的，给出了充分的证明。数学实质上存在于宇宙万物之中，它是关于自然界结构的真理，或者如柏拉图所说，是物质世界的客观存在。宇宙存在规律和秩序，数学是达到这种有序的关键。而且，人类理性可以洞察这个设计并且揭示其数学结构。
对自然作逻辑的、数学的探索的概念主要来自于欧几里得的《几何原本》，虽然这一著述旨在研究物理空间，但其编排组织，独创性和清晰度激发了公理演绎方法，不仅适用数学的其他领域，如关于数字的理论，而且适用于所有科学。所有基于数学的物理知识的逻辑化结构通过这本书进入了理性世界。
这样希腊人建立了数学和对现代科学基础的自然设计的探讨之间的联系。直到19世纪后半叶，对数学设计的探求，即对真理的探求，认为数学规律是自然界的真理的信念为数学吸引了最深刻和最著名的思想家。 |
人类对于宇宙以及数学地位的认识已被迫作出了根本性的改变，本书要讨论的正是这一点。现在我们知道，数学已不再受到普遍尊重和景仰。数学曾经被认为是精确论证的顶峰，真理的化身，是关于宇宙设计的真理。那么，人类是如何认识到这种观点是错误的，我们现在的观点又是什么，这正是本书的主题。引论中将简要陈述这些主题，部分材料可由详尽的数学史略拾一二。但是，对于普通读者来说，一种直接的、非专业性的探讨更便于接受和理解。
许多数学家可能更愿意把对数学当前地位的揭示控制在数学圈里，公开曝光这些困难也许会出现不好的效果，家丑不可外扬嘛。但是，受理性指导的人们必须充分认识到他们所掌握的工具的力量，认识到推理的能力及其局限性，这远比盲目相信有益得多，后者很可能导致错误的思想甚至毁灭。
（以下为致谢部分，从略）
M·克莱因
布鲁克林，纽约
1980年1月 |